hdu 2065 "红色病毒"问题 (指数型母函数,泰勒级数展开)

Posted by 111qqz on Sunday, February 28, 2016

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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2065
题意:a,b,c,d四种元素,a,c只能出现偶数次(包括0次),b,d没有限制,问n个(2^64)个元素有多少种不同的组合。
思路:指数型母函数。。。n大的没办法用之前的办法做。

先来看下我们要求的式子:A=(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.

其实一共四个式子相乘,但是a和c的情况相同,b和d的式子相同。

我们要求的是x^n的系数。。。n太大了。。直接搞肯定不行。

想到微积分学的泰勒展开。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+… (|x|<oo)

其实这里x的范围没有意义,因为母函数关注的是系数,不会代入x的值,所以可以不用考虑收敛性。

那么第一项(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2就可以换成(e^x)^2

第二项没有奇数项,很容易想到可以写成((e^x+e^(-x))/2)^2

继续化简:4A=(e^x)^2((e^x+e^(-x))/2)^2

4A = (e^(4x)+2e^(2x)+1)

我们要的是x^n的系数,再正向泰勒展开,得到x^n的系数应该是 (4^n+2*2^n)/4,也就是4^(n-1)+2^(n-1)

因为只要后两位的结果,其实就是结果0.快速幂搞之。

以及,2^64 long long 存不下,应该用unsigned long long ,类型说明符是 %llu

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2016年02月28日 星期日 14时01分58秒
File Name :code/hdu/2065.cpp
************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef unsigned long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL MOD = 100;
LL n;
LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL res = 1LL;
    while (b)
    {
    if (b&1) res = (res*a)%MOD;
    b = b>>1;
    a =(a*a)%MOD;
    }
    return res;
}
int main()
{
    #ifndef  ONLINE_JUDGE 
    freopen("code/in.txt","r",stdin);
  #endif
    int T;

    while (~scanf("%d",&T))
    {
        if (T==0) break;
        int cas = 0 ;
        while (T--)
        {
        printf("Case %d: ",++cas);
        scanf("%llu",&n);
        LL ans = ksm(4,n-1)+ksm(2,n-1);
        ans %=MOD;
        printf("%llu\n",ans);
        }
        printf("\n");
    }
	

  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}

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