poj 1322 chocolate (指数型母函数 )

Posted by 111qqz on Wednesday, March 2, 2016

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http://poj.org/problem?id=1322 题意:

思路:别看n,m很大。。。但是想一下。。m显然不可能大于c(如果大于c,那么根据抽屉原理,至少存在一种巧克力大于一个,然而大于一个就会被取走…矛盾)   这样概率为0.m也不可能大于n,因为最好的情况就是取出的巧克力都放在了桌子上,如果总共取的还不到n个,又怎么可能剩下m(m>n)个呢。此外,还需要n,m奇偶性相同,否则设n-m=2K+1 ,说明如果要剩余m个,那么就要减少2k+1个,但是巧克力是两个两个减少的,减少的个数一定是偶数,因此矛盾。所以n,m奇偶性相同。

接下来可以用概率dp做,由于n比较大,滚动一下应该可以… 然后看到别人的题解里写到当n>1000的时候已经趋向平衡(达到了要求的精度)… 这道题dp写起来的确容易,也不是很难想。

不过作为dp废宁愿选择数学方法,指数型母函数。

分析可知,取过偶数次的巧克力消失,只有取过奇数次的巧克力会留在桌子上。

那么要剩余m个巧克力,也就是有m种巧克力取了奇数次,剩下的c-m种巧克力取了偶数次。

对应的的生成函数(母函数)分别是(e^x-e(-x))/2和(e^x+e(-x))/2  (推倒类似)hdu2065红色病毒解题报告

总事件个数为c^n

根据古典概型,所求概率为 (Gn*n!C[c][m])/(c^n)  其中Gnn!为生成函数,C[c][m]是因为不确定c种巧克力中的哪m种取了奇数个。

现在的问题就成了求Gn中x^n的系数。。我就是因为这个卡了两天这道题。。。

其实模拟就好,复杂度O(c^2)而已。。主要是好久没写二项式定理。。。有点忘了(手动智力-2)

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2016年03月02日 星期三 18时57分58秒
File Name :code/poj/1322.cpp
************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N=105;
double c[N][N];
int C,n,m;



void pre()
{
    c[0][0] = 1;
    for ( int i = 1 ; i <  N ; i++)
    {
    c[i][0]=c[i][i] = 1;
    for ( int j = 1 ; j < i ; j++) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
    }
}
double ksm( double a,int b)
{
    double res = 1.0;
    while (b)
    {
    if (b&1) res = (res*a);
    b = b>>1;
    a = a*a;
    }
    return res;
}
void solve()
{
    double posi[N],nega[N],a[N],b[N];
    
    ms(posi,0);
    ms(nega,0);
    ms(a,0);
    ms(b,0);

    double tmp1=ksm(0.5,m);
    double tmp2;
    for ( int i = 0 ; i <= m ; i++)
    {
    int j = i-(m-i);
    if ((m-i)&1) tmp2 = -tmp1;
        else tmp2 = tmp1 ;   //正负项
    if (j>=0) a[j]+=tmp2*c[m][i];
        else b[-j] +=tmp2*c[m][i];
    }

    tmp1 = ksm(0.5,C-m);
    for ( int i = 0 ; i <= C-m ; i++)
    {
    tmp2 = tmp1 *c[C-m][i];
    for (int j = 0 ; j <= m ; j++)
    {
        int k = j+i-(C-m-i);
        if (k>=0) posi[k]+=tmp2*a[j];
        else nega[-k]+=tmp2*a[j];

    }

    for ( int j = 0 ; j <= m ; j ++)
    {
        int k = -j+i-(C-m-i);
        if (k>=0) posi[k]+=tmp2*b[j];
        else nega[-k]+=tmp2*b[j];

    }
    }

    double ans =  0.0;
    for ( int i = 1 ; i <= C ; i++)
    {
    if (n&1) nega[i]=-nega[i];
    ans +=c[C][m]*ksm(1.0*i/(1.0*C),n)*(posi[i]+nega[i]);
//	cout<<c[C][m]<<" "<<ksm(1.0*i/C,n)<<" "<<posi[i]+nega[i]<<endl;
    }

    printf("%.3f\n",ans);


}
int main()
{
    #ifndef  ONLINE_JUDGE 
    freopen("code/in.txt","r",stdin);
  #endif
	
    pre();
    while (~scanf("%d",&C))
    {
        if (C==0) break;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        if ((n-m)%2||m>C||m>n)
        {
        puts("0.000");
        continue;
        }
        if (n==0&&m==0)
        {
        puts("1.000");
        continue;
        }
        solve();

    }

  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}

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