【dp专题002】hdu 4489 The King’s Ups and Downs (dp)

Posted by 111qqz on Sunday, November 13, 2016

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题意:问长度为n的“波浪”型排列(即1..n每个数出现一次)有多少。波浪型的含义是,“高低高”或者“低高低”

思路:我们考虑当前已经知道i-1个数的波浪型的排列的方案数,那么当第i个数到来时,第i个数一定是最大的。

那么将i插入到某个位置,必须满足该位置前面必须以“高低”结尾,该位置后面必须以“低高”结尾才合法。(特别地,允许前面或者后面为空,这点体现在初始化上)

因此我们分别考虑,用dp[i][0]表示有i位且最后结尾为“高低”的方案数,dp[i][1]表示有i位且最后结尾为“低高”的方案数。

此时我们的情况是,已经有i-1个数,我要把第i个数插在某个位置。

这个位置是不确定的,因为我们需要枚举插入的位置(表现为,枚举插入的第i个数前面有j个数,后面剩余i-1-j个数)

那么第i个数前面是选择哪j个数呢? 组合数为C[i-1][j] (i-1个数选择j个放在前面)

因此长度为i的答案为**sum[i] = sigma{dp[j][0]dp[i-j-1][1]C[i-1][j]} (0=<j<i)

dp[i][0]和dp[i][1]对称,显然相等,都等于sum[i]/2.

我们只需要再预处理一个组合数就好了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair
using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
LL C[30][30];
LL dp[30][2];
LL sum[25];
void cal()
{
    for ( int i = 1 ; i <= 20 ; i++)
    {
        C[i][0] = 1;
        C[i][i] = 1;
    }
    for ( int i = 2; i <= 20 ; i++)
        for ( int j = 1 ; j < i ; j++)
            C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
}
int main()
{
    cal();
 /*   for ( int i = 2 ;i  <= 10 ; i++)
    {
        for ( int j = 0 ; j <= i ; j++)
            printf("%d ",C[i][j]);
        printf("\n");
    } */
    ms(sum,0);
    sum[1] = 1;
    dp[0][0]=dp[0][1]=dp[1][0]=dp[1][1] = 1;
    for ( int i = 2 ; i <= 20 ; i++)
    {
        for ( int j = 0 ; j < i ; j++) //枚举第i个位置前有几个。
        {
            sum[i] += dp[j][0]*dp[i-1-j][1]*C[i-1][j];
        }
        dp[i][0] = dp[i][1] = sum[i]/2;
    }
//    for ( int i = 1; i <= 20 ; i++) printf("%lld\n",sum[i]);
     int T;
     cin>>T;
     while (T--)
     {
         int cas,n;
         scanf("%d%d",&cas,&n);
         printf("%d %lld\n",cas,sum[n]);
     }


    return 0;
}

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