BSGS(Baby steps giant steps)算法学习笔记

Posted by 111qqz on Sunday, July 23, 2017

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离散对数(Discrete Logarithm)问题是这样一个问题,它是对于模方程

a^x=b(mod prime),求满足条件的X,或者得出不存在这样的X

最暴力的思路,那么就是枚举x? 根据费马小定理,只需要枚举[0,p-1)

但是还是很大…我们不禁想到把x写成x=A*m+B的形式,m=ceil(sqrt(p))

因此有 a^{A\lceil \sqrt{p} \rceil + B} \equiv b \pmod p ,变形得到 a^{A\lceil \sqrt{p} \rceil} \equiv b\cdot a^{-B} \pmod p

然后预处理一边存到map中,从小到大枚举另一边看是否存在…

我们可以设 x = A \lceil \sqrt{p} \rceil - B ,其中 0 \leq B < \lceil \sqrt{p} \rceil ,  0 < A \leq \lceil \sqrt{p} \rceil + 1 ,这样的话化简后的方程就是

 a^{A\lceil \sqrt{p} \rceil} \equiv b\cdot a^B \pmod p

就可以不用求出逆元,要注意只是不用求出逆元,而不是没有用到逆元的存在

就可以不用求出逆元,要注意只是不用求出逆元,而不是没有用到逆元的存在

就可以不用求出逆元,要注意只是不用求出逆元,而不是没有用到逆元的存在

其实在m=sqrt(p)的时候你可能就有预感了…

BSGS算法的本质,就是个分块啊,而分块的本质就是暴力乱搞…所以BSGS看起来很高大上的算法不过是暴力乱搞2333

而BSGS的名字也很贴切…A的变化是giant step?B的变化是baby step? (纯属yy…但是我感觉这样想很好理解啊?

需要注意的是,这里介绍的是常规的BSGS算法,

前提条件是a和P互质

前提条件是a和P互质

前提条件是a和P互质

放一个板子好了,poj 2417

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2017年07月23日 星期日 11时11分00秒
File Name :2417.cpp
************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define PB push_back
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
LL p,b,n;
map<LL,LL>Hash;
map<LL,LL>::iterator it;
inline LL ksm(LL a,LL b,LL MOD)
{
    LL res = 1LL;
    while (b)
    {
    if (b&1) res = (res*a)%MOD;
    b = b >> 1;
    a = (a*a)%MOD;
    }
    return res;
}
LL BSGS(LL a,LL b ,LL p) // a^x = b (mod p),求x 
{
    a%=p;
    b%=p;
    if (!a&&!b) return 1;
    if (!a) return -1;
    Hash.clear();
    LL m = ceil(sqrt(double(p)));
    LL tmp = b;
    for (LL j = 0 ; j <= m ; j++)
    {
    Hash[tmp]=j;
    tmp = (tmp*a)%p;
    }
    tmp = ksm(a,m,p);
    LL ret = 1;

    for (LL i = 1  ; i <= m+1 ; i++)
    {
    ret = ret*tmp%p;
    if (Hash[ret]) return i*m-Hash[ret]; //注意处理下%....虽然其实不处理也没关系...
    }
    return -1;

}
int main()
{
        #ifndef  ONLINE_JUDGE 
       // freopen("./in.txt","r",stdin);
  #endif
    while (~scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n))   // B^L = n(mod p)
    {
        LL ans = BSGS(b,n,p);
        if (ans==-1) printf("no solution\n");
        else printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);
    }
	    
    
  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}

参考资料:

一个很多BSGS算法初学者的误区

扩展大步小步法解决离散对数问题

大步小步算法与扩展大步小步算法

BSGS算法学习小记(大步小步算法)

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