hdu 4686 Arc of Dream (构造矩阵,快速幂)

Posted by 111qqz on Sunday, October 1, 2017

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hdu4686题目链接

题意:

An Arc of Dream is a curve defined by following function:

where
a 0 = A0
a i = a i-1_AX+AY
b 0 = B0
b i = b i-1_BX+BY
What is the value of AoD(N) modulo 1,000,000,007?

思路:

看n的1E18的范围也知道是矩阵快速幂。。

难点还是构造矩阵。

构造矩阵主要凭借经验,但是还是有一些规律可循:

  1. 对于求和的式子,如 s[n] = sum{F[1]..F[n]}类似的式子,我们只需要考虑如何构造F[n]即可。
  2. 尽量将要构造的表达式展开成,第n项,与前面项(第n-1项等)有关的形式。
  3. 观察2中展开的表达式的系数,每一个系数都亚奥出现在转移矩阵M中。
  4. 观察2中展开的表达式的项,基本每一项都要整体或者以其他形式出现在初始矩阵M1中
  5. 我们并不很关心初始项。
  6. 难点其实在于构造M1矩阵,也就是说哪些项是重要的。一般而言,**可能有的项是,s[n],f[n],常数项,以及为了构造出f[n]的辅助项。**

对于这道题:


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然后矩阵快速幂即可。

1A

/* ***********************************************
Author :111qqz
Created Time :2017年10月01日 星期日 13时34分52秒
File Name :4686.cpp
************************************************ */

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define PB push_back
#define fst first
#define sec second
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define ms(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
typedef long long LL;
#define pi pair < int ,int >
#define MP make_pair

using namespace std;
const double eps = 1E-8;
const int dx4[4]={1,0,0,-1};
const int dy4[4]={0,-1,1,0};
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N=10;
const LL mod = 1E9+7;
LL n,A0,Ax,Ay,B0,Bx,By;
struct Mat
{
    LL mat[N][N];
    void clear()
    {
    ms(mat,0);
    }
    void pr()
    {
    for ( int i = 0 ; i < 5 ; i++)
        for ( int j = 0 ; j < 5 ; j++)
        printf("%lld%c",mat[i][j],j==4?'\n':' ');
    }
}M,M1;
Mat operator * (Mat a,Mat b)
{
    Mat c;
    c.clear();
    for ( int i = 0 ; i < 5 ;  i++)
    for ( int j = 0 ; j < 5 ; j++)
        for ( int k = 0 ; k < 5 ; k++)
        {
        a.mat[i][k]%=mod;
        b.mat[k][j]%=mod;
        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % mod) %mod;
        }
    return c;
}
Mat operator ^ (Mat a,LL b)
{
    Mat ret;
    ret.clear();
    for ( int i = 0 ; i < 5 ; i++) ret.mat[i][i] =  1;
    while (b>0)
    {
    if (b&1)
        ret = ret * a;
    b = b>>1LL;
    a = a * a;
    }
    return ret;
}
LL solve()
{
    M1.clear();
    M.clear();
    M.mat[0][0] = Ax*Bx;
    M.mat[0][1] = Ax*By;
    M.mat[0][2] = Ay*Bx;
    M.mat[0][3] = Ay*By;

    M.mat[1][1] = Ax;
    M.mat[1][3] = Ay;
    M.mat[2][2] = Bx;
    M.mat[2][3] = By;
    M.mat[3][3] = 1;
    M.mat[4][0] = 1;
    M.mat[4][4] = 1;

    M1.mat[0][0] = A0*B0;
    M1.mat[1][0] = A0;
    M1.mat[2][0] = B0;
    M1.mat[3][0] = 1;
    M1.mat[4][0] = 0;

    Mat ans;
    ans.clear();
    ans = (M ^ (n))*M1;
   // ans.pr();
    return ans.mat[4][0];
}                                                                                                                                                                                    
int main()
{
    #ifndef  ONLINE_JUDGE 
    freopen("./in.txt","r",stdin);
  #endif
    while (~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&A0,&Ax,&Ay,&B0,&Bx,&By))
    {
        LL ans = solve();
        ans = (ans % mod + mod )%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }

  #ifndef ONLINE_JUDGE  
  fclose(stdin);
  #endif
    return 0;
}

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